具体的には,正則関数のどういった性質が上の一致の定理のような強力な主張をもたらしているのでしょうか., ずばりそれは,正則関数の重要な性質である「任意の点の近傍上でTaylor展開できること」が「微分可能性」だけから導かれることだと思っています., 「任意の点の近傍上でTaylor展開できる関数」には名前がついていて,解析関数6と呼ばれています. 複素関数いろいろ(zp;ez;sinz;sinhz;logz) 4. そして今回は,その一つである一致の定理と呼ばれるものを紹介しようと思います. <>>> �����kw�-:���Y�sL�@�ܙsA�V�ဍ��e�1�O��]PȥЍ3�l0�22����a1���V�;��8�#&�b��ظ�h�Z�v���@Cb[s�.8+PE,�)��F2�D2��ft��"�"���|oc�*'D��E��׮�m��/����v��Tf��ODr}��l�� 本書は,名古屋大学理学部数理学科2年生を対象とした「複素関数論」の講義内容 をもとに加筆した複素関数入門である.複素数の定義からはじめ,正則関数の基本性 質(コーシー・リーマン方程式,コーシーの定理,コーシーの積分表示,テイラー展 �v�j��_�)$�. ]K���c����r�����tez��=b��uù�>ߴ���6��kN���~4L�&��x�7*�oa�7���u^�DJ:�>����a�s�n�X���o��M��Ǵ��v9?���f1tD�^�� しかし,「関数が正則である」というのは思った以上に強力で,それを裏付けるような定理もいくつか存在します. なお、指数関数の指数法則や三角関数の加法定理は、 後で学ぶ「一致の定理」を用いる証明も有名である。) 問題92. you can read useful information later efficiently. 定理1.2 (R. Narasimhan, (1961)/II(1962)) 1. %PDF-1.5 一見すごくシンプルな定義に見えます. Why not register and get more from Qiita? Wd�j�6^�讅j�P�ܫ4�, よって,$\varphi$ の定義より $\varphi(a)=c_n$ であるので,$c_n=0$ が得られた., しかし,これは $c_n \ne 0$ であることに反するので,背理法により $c_n = 0~(n \in \setN \cup \{0\})$ であることが示された.$\square$, (このセクションは僕の個人的な考察を述べたものです.何か意見などがあればご自由にどうぞ.), 結局のところ,正則関数の「すごさ」とは何なのでしょうか. 複素解析を少しでも勉強されたことがある方は,「正則関数」について多かれ少なかれ学んだと思います. p�������m�J�Ud�!5A1�ݸ{[T`،��*Q��T�b��ʝI�~yev[\��B�����ͣ��G3<=n �纰5���φ� �)��Ob� �+�Q�aK�RH�{jk���tի��{��8걮5��!����B���] ��ϏC8�w :P*~����E�=Œ�;���9�eB�_V-7����U���ǚ Help us understand the problem. ==��F2��GB��V`L#����x���1 P0 ���`�AU�P��$"M��N�}�P�4���Fy�i9۰�o�r��4Ws��F�(��N�#0\5���zP�k�M'� �%5�lQ�#����'�@�E���2���є�\�|,���l�����B�4�ބq�e�t)B��Y��}�I��_�� !��‹=ƒ�$m��Fh�-f`6ƴ���x�Q��s� cf��6a���/,x������B��1�s�Ŝ���c��k���^�X�|���ߍ���1�6�;)O.�/�)�Z ��3м���H���-��� 0���3�E�� ����7������t$3y�:X�b{���������rF�@��HYrH�� +��c_2=���)A�nDK&H�y�����E���x1˵ すると,$h$ は $D$ 上正則であり,かつ $h(z)=0 \Leftrightarrow f(z)=g(z)$ を満たす. %���� �v��֢�������eà[�t�a��������z�����;u흺��I�'���1�A���^Ȑ������W��Y2W 実は,この実解析関数に対しても一致の定理が成り立つことが,全く同様の証明方法により分かります7. このとき,$O_1, O_2$ がともに $D$ の開集合4でかつ $O_1 \ne \emptyset$ であることが分かれば,$D$ が連結であることから $O_2 = \emptyset$ であることが示され,結局 $D=O_1$ であるので定理が示される. X�`��oj�*2+ A����s���q��� �(��=���d�����$�iU6A���yF�&S>#��������-\�`�\�. 複素関数 桂田祐史 2014年9月20日, 2019 年3 月22 日 授業の進行に従い、昨年度の講義ノートを書き換えて行く。 2018年度は(も)、月曜2限(312), 火曜3限(310) に講義を行なう。 よって,$O_1$ が開集合であることが分かった., 次に,$O_2$ が開集合であることを示す. なので,$O_2$ の補集合である $O_1$ が閉集合であることを示すことで,$O_2$ が開集合であることを確かめる. これより $z_0 \in O_1$ となり,$O_1$ が閉集合であることが分かった. 上の言葉を借りると,複素関数に対しては「正則関数(微分可能な関数)$~\Leftrightarrow~$解析関数」が成り立っていることが分かります. �qz はじめに. ここで,$O_1$ 上の任意の収束点列 $\{ z_k \}$ をとり,その極限が $z_0 \in D$ であるとすると,連続性と $O_1$ の定義から, となる. ここでは,背理法によりこれを示す., ある$~n \in \setN \cup \{0\}~~$が存在して$~c_0 = \dots = c_{n-1} = 0,~ c_n \ne 0~$であるとする. p�G9�JU�9�.g;4ɸy����{�2]��Uc��*`�F%K}?��ڠ�����Ϙ �=`�b�TY��Hl_��m��d3ȶY�;V|�$TP���O�dRW/�n�دJa̝�b@US����5�E�kf���A�>�9�6��mh�&�4&���]���C�ew�ˀ�����gտ e;l�6�6�~P���(:?��5I�]��\��>!9&��R7|��iуRa�/��y5�A�A!� � ���э�����3�s#�d_�%� �E��.̽–n������0&O8Eoȁ9��G�q��ߘE:CXo�%�6���\�%&]��z#s�+��l|��^t�I�b�b����z�i�M���3�|�\�Y��@�d�`cV��eQ��sdAc/~! x��]M�9r��W�{bLj%$�ć��o����ص�X�@ɵfF��݈����/��b��"��ji�v(ZEVW%�D"�e"��aE+���z�]lB��W�;��=~�z����W/��V�v6���㊌n"��Նl�ٙ�z��˽��ڶQ9�jk��ز�Ʃ�Q���>���?��^�o4����PcvhT�����o�|'����n�}��ǮWf�贳� %PDF-1.5 (II) 複素空間X 上に連続多重劣調和な階位関数ϕ: X → R が存在しかつ、X 上に強多重劣調和関数が存在することとX がスタインであることは同値. ごめんなさい., $f,g$ は領域1 $D \subset \setC$ 上で正則な関数とする. ��׏{zoC>� �V�R�7a�"Cڟ�#vS�M+��1��Mt��|c>Xl��Q?9�)X��P����Gj^0�mC�t-�� sݸ���nI�/���K�n�m��Ҫ����ǜ��M�ߚ���I� p��F"LԚ���o��Y�M7�9�q�4x���>��=A}�aAT� �������w{��-������5�����p}��G��������������>�g��u.�1��Q����~��;r,��ޠG�_��B��|M4u���� stream これより,$U_r(w)$ 上で $h(z)=0,~ \deriv{h}{n}(z)=0~(n \in \setN)$ であるから,$~U_r(w) \subset O_1~~$を得る. %���� z��� P�8r�c�p:K��h��. 2. ��a�дR� �� ����y@!�d�1p6Ѽ@����q��`���Тkw��0{c�z�f�2/j�s���"��T �r�Z7Z$�=:f@����'�h =]c@W�r�ktʿ��Y34F�ݢTnT��^�M$ ��1�6t����*��G�CNXW���&��b�̶*n�鎼@��A��6��&��H�2up�ۉE�4����;"�|Z 8b�� �ܽ[,�F�h3�_o2 9�T��0�e�����0��w-~��HN(��*�q���x�~74�h�й΍i�h��%���i? 例えば,次のような関数$~f~$は$~\setR~$上で無限回微分可能ですが,0の近傍でTaylor展開できないので,解析関数でないことが分かります8:, では,解析関数のどういう点がいいのでしょうか. $w \in O_1$ より $h(w)=0,~ \deriv{h}{n}(w) =0~(n \in \setN)$ であるから,上のTaylor展開と合わせて $h(z)=0~(z \in U_r(w))$であることが分かる. 加藤昌英著 (講座数学の考え方 / 飯高茂 [ほか] 編集, 9) 朝倉書店, 2003.2. %PDF-1.5 vclh|�k�1�Q>�0$�ֈ6�m = O ���{uQ�|U](��W����a�D�7/�Yb~�l��t��;�f< �o���j��:DX@E/��@����>���&�ЫA4�E��h������A� �Mܩ�GZ��jހt �����Q��_�!�a����~�� �A+���|�`�� ��? 仮定より $a \in O_1$ であるから $O_1 \ne \emptyset$ となるので,あとは2つの集合 $O_1, O_2$ が $D$ の開集合であることを示すだけである., 以下,特に断らない限り「開(閉)集合」は「$D$ の開(閉)集合」を意味するものとする., まず,$O_1$ が開集合であることを示す. それぞれの部品に使われている材料の物理的・化学的特性について科学的説明が できる. さて,これから学ぶ複素関数論を自転車(工)学にたとえると,われわれの目標は 3から4のあたりに相当します.自転車の開発者であれば5のような知識も要求される 『解析入門Ⅰ』 Ⅲ定理2.5). ↩, このとき,$~\setR~$中の連結集合は必ず区間となるので,定理の主張中の領域$~~D \subset \setR~~$は開区間となります. ↩. '���M�gx� _�"�%1��X%����΂_l� この意味をよりクリアにするため,ここで一致の定理の証明の一部を抜粋してみます., 任意の点 $w \in O_1$ に対して $D$ に含まれるように点 $w$ のある $r$-近傍$~ U_r(w) = \{ z \in \setC ~;~ |z-w| < r \}~$をとると,その近傍上で $h$ はTaylor展開可能で,, となる. ここで,$f$ の零点とは,$f(z)=0$ となる点 $z$ のことを言います. q�rn�ѱ�J����������|�~��v׼{�~߼;���m�m����?�y�~���o?���Ḁ��n�|���8jTP��Ƚ&՚��Ƙx��tP!�n�,4"3� 46������ �%��S����7����Sfнj\'M���\��a�Hi6==o�2zj�v�遙�����u��1���U��I��\0Iv����:P��a�jDF�"c���רv��[���޵;�l�����z�N������E�t�X�+m&Zn,��&Z�&���5wW:މ�cX��~E-��Mxl�q{L$~ܱ?�] �i���� �F!Ɓ��zyR�D~�)���b�kwtS%�g�փ��A�h��5�|E��D�5��� 5�a�]sq��o����!U�i��ԯ���UF���{e����tߙ���j�(4r�T/�l�ZT�h��)i���2F�M?�c�s�\��=����7�9�=����}���X�c\��k�h�r�(��چ��o�}��L�k4zڳZU���6�.ދ`�H�|�︜����j���A�v����Q��C�'0ؾq֥�c�YR&ۛ�Gv�/��Pk�E>��?��4������/Yb.�䕪M.��� �c��U���u�}o����K]�i�fVU�?�D#�R� �B�����{@����t�f�ૺlP(���f�t1��%�N TL`Dž������}�x�-=���ᆍ�� ��\�0�u6 �S�� d��% $\varphi(z) := c_n + c_{n+1}(z-a) + \cdots $ とおくと,仮定より$~~h(z_k)=0,~ z_k - a \ne 0~(k \in \setN)~~$であるから,上の式に $z_k$ を代入することにより$~\varphi(z_k) = 0~(k \in \setN)~~$を得る. )V�D�mm��� 2챕'�+*�+�Kr�i�~/44%՟������c��,~����1^�J.�Z��~���O�x���m�\�. 複素関数の微分: 微分可能性とコーシー・リーマンの関係式 3. 任意の点 $w \in O_1$ に対して $D$ に含まれるように点 $w$ のある $r$-近傍$~~ U_r(w) = \{ z \in \setC ~;~ |z-w| < r \}~~$をとると,その近傍上で $h$ はTaylor展開可能で,, となる. ここで,$O_1$ のときと同じような方針で示したくなるが,そもそも $O_2$ は空集合であるかもしれないので,「$O_2$ から任意の点を取る」といったことができない. (ez を冪級数で定義したとき) x,y ∈R に対して、ex+iy = ex (cosy +isiny) であることを示せ。 問題93. 複素解析の初歩†<<現在工事中>>本稿においては、関数解析学への応用を念頭に、複素解析のごく初歩的なこと(正則関数の解析性、Liouvilleの定理、一致の定理、Cauchyの積分公式、Cauchyの積分定理、Laurant展開、留数定理)について述べる。そしてこれらのBanach空 xڭXKo7��W�h՘3|�HA{H�\d�nh�Ha���ߐ+�+m�z+�v��o��&͟��ŇM�b�\�f0?\��و�l0W��'�ج$QH�\�]o��]o����ڭ�K�F�`-\�\�@�$�"F*�� $f,g$ が次の二つの仮定いずれかを満たすとする:, (1) ある1点 $a \in D$ が存在し, $f(a)=g(a),~ \deriv{f}{n}(a) = \deriv{g}{n}(a)~(n \in \setN)$ を満たす., (2) ある1点 $a \in D$ と,$~z_k \to a~$かつ $z_k \ne a~(k \in \setN)$ を満たすような $D$ 上の点列 $\{z_k\}$ が存在し,$f(z_k) = g(z_k)~(k \in \setN)$ を満たす., このとき,任意の$z \in D$ に対して $f(z) = g(z)$ が成り立つ.$\square$, 一致の定理を上の形そのままで適用する機会は多分少ないです. $w \in O_1$ より$~h(w)=0,~ \deriv{h}{n}(w) =0~(n \in \setN)~$であるから,上のTaylor展開と合わせて $h(z)=0~(z \in U_r(w))$であることが分かる., この部分で,導関数$~\deriv{f}{n}(w)~$の値がすべて0であるということから,$~w~$の近傍上で$~h \equiv 0~$となることを利用しています. 複素関数論. これはまさしく「点$~w~$の近傍上で$~h~$の値がその点における情報のみで定まる」ことを意味していると考えられます. ※この記事は,私のブログで執筆した記事『複素解析ゼミノート(1)―一致の定理』を若干編集し,移植したものです.. ※この記事は,私のブログで執筆した記事『複素解析ゼミノート(1)―一致の定理』を若干編集し,移植したものです., 複素解析を少しでも勉強されたことがある方は,「正則関数」について多かれ少なかれ学んだと思います. 念のため,ここで正則関数の定義を思い出しておきましょう., $D \subset \setC$ は開集合とし,複素数値関数 $f \colon D \to \setC$ を考える. 他にも解析関数の利点はあるとは思いますが,これがその一つだと僕は考えています. What is going on with this article? 任意の点 $z_0 \in D$ に対して極限, 端的に言ってしまえば,「定義域の各点で複素微分可能な関数」のことを正則関数と言います. <> よって,$O_2$ も開集合であることが分かった., $D$ に含まれるように $a$ の $r$-近傍 $U_r(a)$ をとると,その上で $h$ は, とおいたとき,$~c_n = 0~(n \in \setN \cup \{0\})~~$であることが分かれば点 $a$ で $h$ は仮定(1)を満たすので,結論を得ることができる. もし,その正則関数の零点が孤立していなかったら,仮定(2)より $D$ 上で $f$ が恒等的に0となってしまい,仮定に反するからです., 以下,笠原乾吉さんの『複素解析 1変数解析関数』にならって,一致の定理の証明3をしていきます., $D$ 上の関数 $h$ を$~h(z) := f(z)-g(z)~~$のように定める. 4.2 対数関数 実数関数としての対数関数y = lnx (x;y 2 R)は、指数関数y = ex の逆関数として定義された。 y = ex, x = lny elnx = x; ln(ex) = x) (32) lnxはeを底とする対数関数。 複素関数としての対数関数w = lnw (z;w 2 C)も同じ方針で定義する。 z = ew, w = lnz (33) この式を満たす関数lnz を作ることにする。 By following users and tags, you can catch up information on technical fields that you are interested in as a whole, By "stocking" the articles you like, you can search right away. つまり,零点のある除外近傍2内に零点が存在しないことを意味します. 13 0 obj この定理から解析接続のお話に繋がっていくそうですが,まだそのことについては知らないので,ここでは解説できません. このことを頭に入れた上で改めて一致の定理の証明を読み返すと,Taylor展開できることのありがたみがより分かると思います., 「Taylor展開可能」という便利な性質が「微分可能性」を仮定するだけで出てくる… 「正則関数は解析関数となる」という主張だけでは,「正則関数がなぜすごいか」という問いに対する答えになりません. 正則関数は無限回微分可能であることが知られているので,$~h,~ \deriv{h}{n}~(n \in \setN)~$は連続であることが分かる. この $h$ を用いて仮定(1),(2)を書き換えると,次のようになる:, (1) ある1点 $a \in D$ が存在し, $h(a)=0,~ \deriv{h}{n}(a) = 0~(n \in \setN)~$を満たす., (2) ある1点 $a \in D$ と,$z_k \to a$ かつ $z_k \ne a~(k \in \setN)$ を満たすような $D$ 上の点列 $\{z_k\}$ が存在し,$h(z_k)=0~(k \in \setN)$ を満たす., よって,この $h$ が(書き換えた後の)仮定(1),(2)のいずれかを満たすときに,$D$ 上で $h(z) \equiv 0$ が成り立つことを示せば良いことが分かる., のように定める. 複素関数の図形的解釈: 等角写像 5. �&�7�o�� jwBFy@>ؗ�j��iWM�`�Ш5x� ^�� ���pC��+�yf5�RQ^ԿA"K����¥J�&q�ɃC�ê1����V�� �a���`�r�w)edz|����������88�1�49�G�x D`�����D�@���j)}Ѓ�{�0�86Q������.a Y�.�����κ�&�.v�.Ѧ�2vD&�[y�x/��D[? <> ]q!L�����&�f�ч�M]�O�(��I"�f>���}�`�h�3��#�3��{Z�?����B� H�f�ؒ����oUl ���=mv�%���D�~�s�ܳ���Gs��*��݁��TH2b�)f � ����'����`�� ��I�G_�Es�X��]�ͬ J$xB,^�|��HUWTޞ^b�)�p��'�1"�H]@�F?Ǒ)�hu2cHr���걞�Ǒ������i�$��e�.ʔ��(�X��Y�%O*�kW�)�D��b��A1��01�PA4p��;uH���%۬�a�aTM��b��� U�՚��1���HK�eY��QP�9�b �Z}Ǎ*U)�|��U:�)���>�CM�Df�LN��YZ.z���ay_�A�o��`��l 16 0 obj 複素解析の初歩†<<現在工事中>>本稿においては、関数解析学への応用を念頭に、複素解析のごく初歩的なこと(正則関数の解析性、Liouvilleの定理、一致の定理、Cauchyの積分公式、Cauchyの積分定理、Laurant展開、留数定理)について述べる。そしてこれらのBanach空

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