パターン別!不定方程式の【種類と解き方】 ここでは、よく出る代表的なパターンの不定方程式を紹介します。 それぞれの解き方は対応する章で説明します。 二元一次不定方程式 未知数が \(2\) 種類で、次数が \(1\) の方程式 … 因数分解の公式や基本的な解き方については、右のリンクから確認してください!→「因数分解の仕方(たすき掛け/公式/コツ)まとめ」。, 普通なら解が無数に存在してしまうのですが、「整数」という最強の条件によって、一気に解を絞り込む事が出来るようになります。, このタイプは、条件式の大小関係や、整数⊂実数を利用して判別式に持ち込む。など沢山の手法があります。, $$ \frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{c}=1 かつa≤b≤c のとき$$, 解き方の流れは、条件式(ここではa≦b≦c)を変形→最大or最小の文字を3つ並べて挟みこみ、文字消去→場合分け→因数分解型に帰着。です, $$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{c}=1 $$・・・1に近づけます。, a,b,cは自然数より、逆数を取ると、$$\frac {1}{c}≤\frac {1}{b}≤ \frac {1}{a}・・・2$$, ここで1、2より$$\frac {1}{a}+\frac {1}{a}+\frac {1}{a}=\frac {3}{a}$$, $$\frac {3}{a}\geq\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{c}=1$$, $$\frac {3}{a}\geq 1\Leftrightarrow 3\geq a\geq 1$$, (ⅰ)a=1 の時、1のaに代入する1/1+1/b+1/c=1 ⇔1/b+1/c=0, ここで前回と同じ様に(無理矢理因数分解で変数の積の係数が1でない時)忘れていたら↓で詳しく解説しています.), $$\left( b-\frac {3}{2}\right) \left( c-\frac {3}{2}\right) =\frac {9}{4} と3≦b≦c よりb,cは3,3$$, a≦b≦c 但し (a、b、c)は自然数とする。この時  abc= a+b+c を満たす(a,b,c)の組を求めよ。, (ここから上3通りを『abc= a+b+c』にそれぞれ代入し、条件を満たすかチェックします), (ⅰ) 1・1・c=2+c ⇔ c=2+c となり、このようなcは存在しないので、『解なし』。, 今日の例題は不定方程式の整数解の絞り込み型2タイプの解説をしました。前回の因数分解型と合わせてよく復習しておいてください。, 当サイトのtwitter(@linkyjuku_tweet) フォローをお願いします!. 上野竜生です。不定方程式の解き方を勉強します。基本パターン2つを詳しく説明し,応用パターンを軽く紹介します。基本パターン1:axy+bx+cy=dのパターンこの場合は無理やり\( … ブログやYouTubeなどで、高品質な教育を誰もが享受できる時代になることを、私は強く望んでおります。 対称式の不定方程式の場合は、仮に大小関係を決めてみる。x+y+z=xyzを満たす自然数x、y、zの組を求めよ、という頻出問題で、x≦y≦zと仮定してみる。 条件と仮定により、xとyの組は3つに絞れたが、これを与式 … よって、3Xも偶数にならないといけません。, つまり、X=2,4,6・・・と調べていくことで、あてはまる解を見つけることができます。 2です。 3X+8Y=82, 3X+8Y=82 © 2020 受験辞典 All rights reserved. パターン別の解き方や、整数解(特殊解)の見つけ方なども説明していきますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね。, また、解のうち、与えられた条件を満たす具体的な 1 つの解を特殊解、解がいくつあっても一般的に成り立つ解を一般解といいます。, 問題文ではさまざまな表現がされるので、何を聞かれているかわかるようにしておきましょう!, 二元一次不定方程式 \(ax + by = c\) (\(a, b, c\) は係数)は、次のチェックポイントにしたがって解き方を決めます。, \(3x + 4y = 15\) を満たす整数 \(x, y\) をすべて求めよ。, \(\left\{\begin{array}{l}y = 3k\\5 − x = 4k\end{array}\right.\), \(\color{red}{\left\{\begin{array}{l}x = −4k + 5\\y = 3k\end{array}\right. 2元2次不定方程式(因数分解可能)と2回出てくるのですが、 を満たす自然数 \(\displaystyle a,b,c\) の解の個数と同じになります。 9を三つの自然数に分割する方法は28通り. {a、b、c}={2、3、6}{2、4、4}{3、3、3} ユークリッドの互除法とは?証明や整数解の求め方をわかりやすく解説!不定方程式や最小公倍数との関係も!, 解き方D−1 \(ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\) 型(因数分解), 解き方D−2 \(ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\) 型(判別式), \(ax + by = 1\) と \(ax_0 + by_0 = 1\) の辺々を引く, \(ax + by = 1\) の特殊解 \((x_0, y_0)\) を見つける, \(ax_0 + by_0 = 1\) の両辺を \(c\) 倍し、\(ax + by = c\) から引く, \(\bf{ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0}\), \(y = 1\) のとき \(\displaystyle \frac{D}{4} = 5\) より不適, \(y = 2\) のとき \(\displaystyle \frac{D}{4} = 9 = 3^2\), \(y = 3\) のとき \(\displaystyle \frac{D}{4} = 5\) より不適, \(y = 2\) のとき、\(\displaystyle \frac{1}{z} = 0\) より不適. }\) (\(\color{red}{k}\):整数), \(axy + bx + cy + d = 0\) 型は無理やり (\(\bf{x}\) の一次式) \(\cdot\) (\(\bf{y}\) の一次式) = (定数) の形に因数分解します。, \(2xy − 2x + 3y − 8 = 0\) を満たす整数 \(x, y\) をすべて求めよ。, \((2x + 3, y − 1) \\= (−5, −1), (−1, −5), (1, 5), (5, 1)\), \(\color{red}{(x, y) = (−4, 0), (−2, −4), (−1, 6), (1, 2)}\), 二次の項 \(ax^2 + bxy + cy^2\) が因数分解できる場合、式全体を (\(x, y\) の一次式) \(\cdot\) (\(x, y\) の一次式) = (定数) の形に変形できます。, \(2x^2 + xy − 3y^2 − x + 6y − 6 = 0\) を満たす整数 \(x, y\) をすべて求めよ。, \(2x^2 + xy − 3y^2 = (2x + 3y)(x − y)\) より、, \(\begin{align}= 2x^2 + &xy − 3y^2 \\&+ (a + 2b)x + (−a + 3b)y + ab\end{align}\), \(2x + 3y − 3, x − y + 1\) は \(3\) の約数であるから、, \((2x + 3y − 3, x − y + 1) = (−3, −1)\) のとき, \(\displaystyle (x, y) = \left( −\frac{6}{5}, \frac{4}{5} \right)\) より不適, \((2x + 3y − 3, x − y + 1) = (−1, −3)\) のとき, \((2x + 3y − 3, x − y + 1) = (1, 3)\) のとき, \((2x + 3y − 3, x − y + 1) = (3, 1)\) のとき, \(\displaystyle (x, y) = \left( \frac{6}{5}, \frac{6}{5} \right)\) より不適, \(\color{red}{(x, y) = (−2, 2), (2, 0)}\), \(x^2 + 2xy + 5y^2 + 4x − 12y + 11 = 0\) を満たす整数 \(x, y\) をすべて求めよ。, \(x^2 + 2(y + 2)x + 5y^2 − 12y + 11 = 0\), \(\begin{align} \frac{D}{4} &= (y + 2)^2 − (5y^2 − 12y + 11) \\ &= y^2 + 4y + 4 − 5y^2 + 12y − 11 \\ &= −(4y^2 − 16y + 7) \\ &= −(2y − 1)(2y − 7) \end{align}\), \(D \geq 0 \iff −(2y − 1)(2y − 7) \geq 0\), よって \(\displaystyle \frac{1}{2} \leq y \leq \frac{7}{2}\) より、, \(\displaystyle x = −(y + 2) \pm \sqrt{\frac{D}{4}}\), これが整数となるには、\(\displaystyle \frac{D}{4} = 0\) または (平方数) となる必要がある。, \(\color{red}{(x, y) = (−1, 2), (−7, 2)}\), \(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\) を満たす自然数 \(x, y, z\) の組を求めよ。, \(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \frac{3}{x}\) より, \(y, z\) が自然数で、かつ \(x\) 以上である(と仮定した)ことに注意して、条件を満たす \(y, z\) を見つけます。, \(\displaystyle \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0\) (\(1 \leq y \leq z\)), \(\displaystyle \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}\) (\(2 \leq y \leq z\)), \(\displaystyle \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \leq \frac{2}{y}\) より, \(\displaystyle \frac{1}{2} \leq \frac{2}{y}\), \(y\) は \(2 \leq y\) かつ自然数であるから、\(y = 2, 3, 4\), \(\displaystyle \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{3}\) (\(3 \leq y \leq z\)), \(\displaystyle \frac{2}{3} \leq \frac{2}{y}\), \(y\) は \(3 \leq y\) かつ自然数であるから、\(y = 3\), \((x, y, z) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)\), \(x \leq y \leq z\) は勝手に設定した条件なので、最後に解除してあげます。, したがって、\(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\) を満たすのは, \(\begin{align}\color{red}{= } &\color{red}{(2, 3, 6), (2, 6, 3), (3, 2, 6),}\\& \color{red}{(3, 6, 2), (6, 2, 3), (6, 3, 2),}\\& \color{red}{(2, 4, 4), (4, 2, 4), (4, 4, 2), (3, 3, 3)}\end{align}\), さまざまなパターンの不定方程式に対応するためには、整数の性質に対する深い理解と注意力が必要です。. (3と7の最小公倍数ずつずらすしか適するものがない), この問題の答えは、シュークリームを買った個数(=X)は何通りありうるか、 ありがとうございます。, 2元2次(因数分解不可能)の解は、 あとは芋づる式です。Xを8ずつ、Yを3ずつずらしていきます。, 120円のシュークリームと、280円のチーズケーキを何個か買って、合計4480円であった。. 問題1のようにはなっていません。 学び直したい要点がちょうどおさえられていて、とても助かりました! そして、1組解が求まれば、あとは芋づる式に見つかります。, なぜなら、Xを7増やし、Yを3減らすしかないからです。 記事に対する高評価、大変嬉しいです。今後の記事作成の意欲に繋がります。, 青チャートなどの参考書を買うお金がなくても、 シュークリームを買った個数として考えらえるものは何通りあるか。, ただし、X、Yともに正の整数という制限があるので、この文章題の答えは有限個になります。 }\) (\(\color{red}{k}\):整数), \(ax + by = 1\) 型では、直感で特殊解を見つけられることが意外と多いです。, 不定方程式 \(92x + 197y = 1\) を満たす整数 \(x, y\) の組を求めよ。, \(92 − (197 − 92 \times 2) \times 7 = 1\), \(92 − (197 \times 7 − 92 \times 2 \times 7) = 1\), \(92 \times 15 + 197 \times (− 7) = 1\) …④, \(\begin{array}{rr}&92x + 197y = 1 \\ −) & 92 \cdot 15 + 197(−7) = 1\\ \hline &92(x − 15) + 197(y + 7) = 0 \end{array}\), \(92\) と \(197\) は互いに素なので、\(k\) を任意の整数とすると、, \(\left\{\begin{array}{l}x − 15 = 197k\\y + 7 = − 92k\end{array}\right.\), \(\color{red}{\left\{\begin{array}{l}x = 197k + 15\\y = −92k − 7\end{array}\right.

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